Diagram Pohon Dalam Heap Sort
Pengertian Heap Adalah struktur data yang berbentuk pohon yang memenuhi sifat-sifat heap yaitu jika B adalah anak dari A, maka nilai yang tersimpan di simpul A lebih besar atau sama dengan nilai yang tersimpan di simpul B.
Hal ini mengakibatkan elemen dengan nilai terbesar selalu berada pada posisi akar, dan heap ini disebut max heap.
(Bila perbandingannya diterbalikkan yaitu elemen terkecilnya selalu berada di simpul akar, heap ini disebut adalah min heap).
Karena itulah, heap biasa dipakai untuk mengimplementasikan priority queue. Operasi-operasi yang digunakan untuk heap adalah:
• Delete-max atau delete-min: menghapus simpul akar dari sebuah max atau min heap.
• Increase-key atau decrease-key: mengubah nilai yang tersimpan di suatu simpul.
• Insert: menambahkan sebuah nilai ke dalam heap.
• Merge: menggabungkan dua heap untuk membentuk sebuah heap baru yang berisi semua elemen pembentuk heap tersebut.
.2 Jenis-jenis Heap
.2.1 Binary heap
adalah heap yang dibuat dengan menggunakan pohon biner.
.2.2 Binomial heap
adalah heap yang dibuat dengan menggunakan pohon binomial.
Pohon binomial bila didefinisikan secara rekursif adalah:
• Sebuah pohon binomial dengan tinggi 0 adalah simpul tunggal
• Sebuah pohon binomial dengan tinggi k mempunyai sebuah simpul akar yang anak-anaknya adalah akar-akar pohon pohon binomial.
.2.3 Fibonacci Heap
Fibonacci heap adalah kumpulan pohon yang membentuk minimum heap.
Pohon dalam struktur data ini tidak memiliki bentuk yang tertentu dan pada kasus yang ekstrim heap ini memiliki semua elemen dalam pohon yang berbeda atau sebuah pohon tunggal dengan tinggi Keunggulan dari Fibonacci heap adalah ketika menggabungkan heap cukup dengan menggabungkan dua list pohon.
Heap Sort
HeapSort adalah algoritma pengurutan data berdasarkan perbandingan, dan termasuk golongan selection sort.
Walaupun lebih lambat daripada quick sort pada kebanyakan mesin , tetapi heap sort mempunyai keunggulan yaitu kompleksitas algoritma pada kasus terburuk adalah n log n.
Algoritma pengurutan heap sort ini mengurutkan isi suatu larik masukan dengan memandang larik masukan sebagai suatu Complete Binary Tree (CBT).
Setelah itu Complete Binary Tree (CBT) ini dapat dikonversi menjadi suatu heap tree. Setelah itu Complete Binary Tree (CBT) diubah menjadi suatu priority queue.
Algoritma pengurutan heap dimulai dari membangun sebuah heap dari kumpulan data yang ingin diurutkan, dan kemudian menghapus data yang mempunyai nilai tertinggi dan menempatkan dalam akhir dari larik yang telah terurut.
Setelah memindahkan data dengan nilai terbesar, proses berikutnya adalah membangun ulang heap dan memindahkan nilai terbesar pada heap tersebut dan menempatkannya dalam tempat terakhir pada larik terurut yang belum diisi data lain.
Proses ini berulang sampai tidak ada lagi data yang tersisa dalam heap dan larik yang terurut penuh. Dalam implementasinya kita membutuhkan dua larik – satu untuk menyimpan heap dan satu lagi untuk menyimpan data yang sudah terurut.
Tetapi untuk optimasi memori, kita dapat menggunakan hanya satu larik saja.
Yaitu dengan cara menukar isi akar dengan elemen terakhir dalam heap tree.
Jika memori tidak menjadi masalah maka dapat tetap menggunakan dua larik yaitu larik masukan dan larik hasil.
Heap Sort memasukkan data masukan ke dalam struktur data heap.
Nilai terbesar (dalam max-heap) atau nilai terkecil (dalam min-heap) diambil satu per satu sampai habis, nilai tersebut diambil dalam urutan yang terurut.
Algoritma untuk heap sort :
function heapSort(a, count) is
input: sebuah larik tidak terurut a dengan panjang length
(pertama letakkan a dalam max-heap) heapify(a, count)
end := count -1
while end > 0 do
remove ( )
reheapify ( )
end := end – 1
Algoritma Heapify
Algoritma Heapify adalah membangun sebuah heap dari bawah ke atas, secara berturut-turut berubah ke bawah untuk membangun heap.
Permasalahan pertama yang harus kita pertimbangkan dalam melakukan operasi heapify adalah dari bagian mana kita harus memulai.
Bila kita mencoba operasi heapify dari akar maka akan terjadi operasi runut-naik seperti algoritma bubble sort yang akan menyebabkan kompleksitas waktu yang ada akan berlipat ganda.
Sebuah versi lain adalah membangun heap secara atas-bawah dan berganti-ganti ke atas untuk secara konseptual lebih sederhana untuk ditangani.
Versi ini mulai dengan sebuah heap kosong dan secara berturut-turut memasukkan data.
Versi lainnya lagi adalah dengan membentuk pohon heap-pohon heap mulai dari subtree-subtree yang paling bawah.
Jika subtree-subtree suatu simpul sudah membentuk heap maka pohon dari simpul tersebut mudah dijadikan pohon heap dengan mengalirkannya ke bawah.
Setelah diuji, maka ide yang paling efisien adalah versi yang terakhir, yang kompleksitas algoritmanya pada kasus terburuk adalah O(n), sedangkan versi membentuk heap tree-heap tree dari atas ke bawah kompleksitas nya O(n log n)Jadi, algoritma utama heapify adalah melakukan iterasi mulai dari internal simpul paling kanan bawah (pada representasi larik, adalah elemen yang berada di indeks paling besar) hingga akar, kemudian kearah kiri dan naik ke level di atasnya, dan seterusnya hingga mencapai akar (sebagai larik [0..N-1]). Oleh karena itu, iterasi dilakukan mulai dari j= N/2 dan berkurang satu-satu hingga mencapai j=0. Pada simpul internal tersebut, pemeriksaan hanya dilakukan pada simpul anaknya langsung (tidak pada level-level lain di bawahnya). Pada saat iterasi berada di level yang lebih tinggi, subtree subtree selalu sudah membentuk heap. Jadi, kasus akan mengalirkan simpul tersebut kearah bawah. Dengan demikian, heapify versi ini melakukan sebanyak N/2 kali iterasi, dan pada kasus yang paling buruk akan melakukan iterasi sebanyak log (N) kali.
Algoritma Remove
Algoritma remove ini menukar akar (yang berisi nilai maksimum) dari heap dengan elemen terakhir. Secara logika, simpul yang berada paling kanabawah dipindahkan ke akar untuk menggantikan simpul akar yang akan diambil.
Algoritma Reheapify
Algoritma reheapify ini melakukan pembuatan ulang heap dari atas ke bawah seperti halnya iterasi terakhir dari algoritma metoda heapify. Perbedaan antara metode heapify dengan metode reheapify ada pada iterasi yang dilakukan oleh kedua algoritma tersebut. Algoritma metode reheapify ini hanya melakukan iterasi terakhir dari algoritma heapify. Hal ini disebabkan baik subtree kiri maupun subtree kanannya sudah merupakan heap, sehingga tidak perlu dilakukan iterasi lengkap seperti algoritma heapify. Dan setelah reheapify maka simpul yang akan diiterasikan berikutnya akan berkurang satu.
Representasi Alokasi Dinamis Algoritma Pengurutan Heap Sort
Karakteristik dari algoritma pengurutan heap sort adalah bahwa dalam implementasinya heap sort menggunakan heap tree agar dapat diselesaikan secara heap sort. Oleh karena itu, untuk mengimplementasikan algoritma pengurutan heap sort dalam suatu program aplikasi, dibutuhkan adanya alokasi dinamis dengan menggunakan struktur data tree (pohon). Prinsip-prinsip dasar mengenai struktur data tree yang digunakan untuk merealisasikan heap tree adalah sebagai berikut:
a. Simpul-simpul saling berhubungan dengan menggunakan pointer.
Pada struktur data tree ini digunakan minimal dua buah pointer pada setiap simpul,masing-masing untuk menunjuk ke cabang kiri dan cabang kanan dari tree tersebut. Misalnya dalam bahasa C, struktur data tree dideklarasikan sebagai berikut:
Class BinaryTreeSimpul {
keyType key;
infoType info;
BinaryTreeSimpul Left,
Right; // metoda-metoda
}
b. Left dan Right berharga NULL apabila tidak ada lagi cabang pada arah yang bersangkutan.
c. Struktur dari binary tree, termasuk hubungan-hubungan antar-simpul, secara eksplisit direpresentasikan oleh Left dan Right. Apabila diperlukan penelusuran naik (backtrack), maka hal tersebut dapat dilakukan dengan penelusuran ulang dari root, penggunaan algoritma-algoritma yang bersifat rekursif, atau penggunaan stack.
d. Alternatif lain adalah dengan menambahkan adanya pointer ke parent.
Namun hal ini akan mengakibatkan bertambahnya jumlah tahapan pada proses-proses penambahan/penghapusan simpul
Perbandingan Dengan Algoritma Pengurutan Lain
Heapsort hampir setara dengan quick sort, algoritma pengurutan data lain berdasarkan perbandingan yang sangat efisien. Quick sort sedikit lebih cepat, karena cache dan faktor-faktor lain, tetapi pada kasus terburuk
kompleksitasnya O(n), yang sangat lambat untuk data yang berukuran sangat besar. Lalu karena heap sort memiliki (N log N) maka sistem yang memerlukan pengamanan yang ketat biasa memakai heap sort sebagai algoritma pengurutannya. Heap sort juga sering dibandingkan dengan merge sort, yang mempunyaikompleksitas algoritma yang sama, tetapi kompleksitas ruang nya (n) yang lebih besar dari heap sort. Heap sort juga lebih cepat pada mesin dengancache data yang kecil atau lambat.
Kesimpulan
Dengan memanfaatkan struktur data pohon, kita bisa mendapatkan algoritma pengurutan data yang mangkus yang bisa dimanfaatkan untuk membangun program aplikasi yang baik. Algoritma pengurutan heap sort bisa dimasukkan ke dalam algoritma divide and conquer yang disebabkan pembagian dilakukan dengan terlebih dahulu menerapkan algoritma metoda heapify sebagai inisialisasi untuk mentransformasi suatu tree menjadi heap tree, dan pada setiap tahapan diterapkan algoritma metoda reheapify untuk menyusun ulang heap tree.
Pengertian Heap Adalah struktur data yang berbentuk pohon yang memenuhi sifat-sifat heap yaitu jika B adalah anak dari A, maka nilai yang tersimpan di simpul A lebih besar atau sama dengan nilai yang tersimpan di simpul B.
Hal ini mengakibatkan elemen dengan nilai terbesar selalu berada pada posisi akar, dan heap ini disebut max heap.
(Bila perbandingannya diterbalikkan yaitu elemen terkecilnya selalu berada di simpul akar, heap ini disebut adalah min heap).
Karena itulah, heap biasa dipakai untuk mengimplementasikan priority queue. Operasi-operasi yang digunakan untuk heap adalah:
• Delete-max atau delete-min: menghapus simpul akar dari sebuah max atau min heap.
• Increase-key atau decrease-key: mengubah nilai yang tersimpan di suatu simpul.
• Insert: menambahkan sebuah nilai ke dalam heap.
• Merge: menggabungkan dua heap untuk membentuk sebuah heap baru yang berisi semua elemen pembentuk heap tersebut.
.2 Jenis-jenis Heap
.2.1 Binary heap
adalah heap yang dibuat dengan menggunakan pohon biner.
.2.2 Binomial heap
adalah heap yang dibuat dengan menggunakan pohon binomial.
Pohon binomial bila didefinisikan secara rekursif adalah:
• Sebuah pohon binomial dengan tinggi 0 adalah simpul tunggal
• Sebuah pohon binomial dengan tinggi k mempunyai sebuah simpul akar yang anak-anaknya adalah akar-akar pohon pohon binomial.
.2.3 Fibonacci Heap
Fibonacci heap adalah kumpulan pohon yang membentuk minimum heap.
Pohon dalam struktur data ini tidak memiliki bentuk yang tertentu dan pada kasus yang ekstrim heap ini memiliki semua elemen dalam pohon yang berbeda atau sebuah pohon tunggal dengan tinggi Keunggulan dari Fibonacci heap adalah ketika menggabungkan heap cukup dengan menggabungkan dua list pohon.
Heap Sort
HeapSort adalah algoritma pengurutan data berdasarkan perbandingan, dan termasuk golongan selection sort.
Walaupun lebih lambat daripada quick sort pada kebanyakan mesin , tetapi heap sort mempunyai keunggulan yaitu kompleksitas algoritma pada kasus terburuk adalah n log n.
Algoritma pengurutan heap sort ini mengurutkan isi suatu larik masukan dengan memandang larik masukan sebagai suatu Complete Binary Tree (CBT).
Setelah itu Complete Binary Tree (CBT) ini dapat dikonversi menjadi suatu heap tree. Setelah itu Complete Binary Tree (CBT) diubah menjadi suatu priority queue.
Algoritma pengurutan heap dimulai dari membangun sebuah heap dari kumpulan data yang ingin diurutkan, dan kemudian menghapus data yang mempunyai nilai tertinggi dan menempatkan dalam akhir dari larik yang telah terurut.
Setelah memindahkan data dengan nilai terbesar, proses berikutnya adalah membangun ulang heap dan memindahkan nilai terbesar pada heap tersebut dan menempatkannya dalam tempat terakhir pada larik terurut yang belum diisi data lain.
Proses ini berulang sampai tidak ada lagi data yang tersisa dalam heap dan larik yang terurut penuh. Dalam implementasinya kita membutuhkan dua larik – satu untuk menyimpan heap dan satu lagi untuk menyimpan data yang sudah terurut.
Tetapi untuk optimasi memori, kita dapat menggunakan hanya satu larik saja.
Yaitu dengan cara menukar isi akar dengan elemen terakhir dalam heap tree.
Jika memori tidak menjadi masalah maka dapat tetap menggunakan dua larik yaitu larik masukan dan larik hasil.
Heap Sort memasukkan data masukan ke dalam struktur data heap.
Nilai terbesar (dalam max-heap) atau nilai terkecil (dalam min-heap) diambil satu per satu sampai habis, nilai tersebut diambil dalam urutan yang terurut.
Algoritma untuk heap sort :
function heapSort(a, count) is
input: sebuah larik tidak terurut a dengan panjang length
(pertama letakkan a dalam max-heap) heapify(a, count)
end := count -1
while end > 0 do
remove ( )
reheapify ( )
end := end – 1
Algoritma Heapify
Algoritma Heapify adalah membangun sebuah heap dari bawah ke atas, secara berturut-turut berubah ke bawah untuk membangun heap.
Permasalahan pertama yang harus kita pertimbangkan dalam melakukan operasi heapify adalah dari bagian mana kita harus memulai.
Bila kita mencoba operasi heapify dari akar maka akan terjadi operasi runut-naik seperti algoritma bubble sort yang akan menyebabkan kompleksitas waktu yang ada akan berlipat ganda.
Sebuah versi lain adalah membangun heap secara atas-bawah dan berganti-ganti ke atas untuk secara konseptual lebih sederhana untuk ditangani.
Versi ini mulai dengan sebuah heap kosong dan secara berturut-turut memasukkan data.
Versi lainnya lagi adalah dengan membentuk pohon heap-pohon heap mulai dari subtree-subtree yang paling bawah.
Jika subtree-subtree suatu simpul sudah membentuk heap maka pohon dari simpul tersebut mudah dijadikan pohon heap dengan mengalirkannya ke bawah.
Setelah diuji, maka ide yang paling efisien adalah versi yang terakhir, yang kompleksitas algoritmanya pada kasus terburuk adalah O(n), sedangkan versi membentuk heap tree-heap tree dari atas ke bawah kompleksitas nya O(n log n)Jadi, algoritma utama heapify adalah melakukan iterasi mulai dari internal simpul paling kanan bawah (pada representasi larik, adalah elemen yang berada di indeks paling besar) hingga akar, kemudian kearah kiri dan naik ke level di atasnya, dan seterusnya hingga mencapai akar (sebagai larik [0..N-1]). Oleh karena itu, iterasi dilakukan mulai dari j= N/2 dan berkurang satu-satu hingga mencapai j=0. Pada simpul internal tersebut, pemeriksaan hanya dilakukan pada simpul anaknya langsung (tidak pada level-level lain di bawahnya). Pada saat iterasi berada di level yang lebih tinggi, subtree subtree selalu sudah membentuk heap. Jadi, kasus akan mengalirkan simpul tersebut kearah bawah. Dengan demikian, heapify versi ini melakukan sebanyak N/2 kali iterasi, dan pada kasus yang paling buruk akan melakukan iterasi sebanyak log (N) kali.
Algoritma Remove
Algoritma remove ini menukar akar (yang berisi nilai maksimum) dari heap dengan elemen terakhir. Secara logika, simpul yang berada paling kanabawah dipindahkan ke akar untuk menggantikan simpul akar yang akan diambil.
Algoritma Reheapify
Algoritma reheapify ini melakukan pembuatan ulang heap dari atas ke bawah seperti halnya iterasi terakhir dari algoritma metoda heapify. Perbedaan antara metode heapify dengan metode reheapify ada pada iterasi yang dilakukan oleh kedua algoritma tersebut. Algoritma metode reheapify ini hanya melakukan iterasi terakhir dari algoritma heapify. Hal ini disebabkan baik subtree kiri maupun subtree kanannya sudah merupakan heap, sehingga tidak perlu dilakukan iterasi lengkap seperti algoritma heapify. Dan setelah reheapify maka simpul yang akan diiterasikan berikutnya akan berkurang satu.
Representasi Alokasi Dinamis Algoritma Pengurutan Heap Sort
Karakteristik dari algoritma pengurutan heap sort adalah bahwa dalam implementasinya heap sort menggunakan heap tree agar dapat diselesaikan secara heap sort. Oleh karena itu, untuk mengimplementasikan algoritma pengurutan heap sort dalam suatu program aplikasi, dibutuhkan adanya alokasi dinamis dengan menggunakan struktur data tree (pohon). Prinsip-prinsip dasar mengenai struktur data tree yang digunakan untuk merealisasikan heap tree adalah sebagai berikut:
a. Simpul-simpul saling berhubungan dengan menggunakan pointer.
Pada struktur data tree ini digunakan minimal dua buah pointer pada setiap simpul,masing-masing untuk menunjuk ke cabang kiri dan cabang kanan dari tree tersebut. Misalnya dalam bahasa C, struktur data tree dideklarasikan sebagai berikut:
Class BinaryTreeSimpul {
keyType key;
infoType info;
BinaryTreeSimpul Left,
Right; // metoda-metoda
}
b. Left dan Right berharga NULL apabila tidak ada lagi cabang pada arah yang bersangkutan.
c. Struktur dari binary tree, termasuk hubungan-hubungan antar-simpul, secara eksplisit direpresentasikan oleh Left dan Right. Apabila diperlukan penelusuran naik (backtrack), maka hal tersebut dapat dilakukan dengan penelusuran ulang dari root, penggunaan algoritma-algoritma yang bersifat rekursif, atau penggunaan stack.
d. Alternatif lain adalah dengan menambahkan adanya pointer ke parent.
Namun hal ini akan mengakibatkan bertambahnya jumlah tahapan pada proses-proses penambahan/penghapusan simpul
Perbandingan Dengan Algoritma Pengurutan Lain
Heapsort hampir setara dengan quick sort, algoritma pengurutan data lain berdasarkan perbandingan yang sangat efisien. Quick sort sedikit lebih cepat, karena cache dan faktor-faktor lain, tetapi pada kasus terburuk
kompleksitasnya O(n), yang sangat lambat untuk data yang berukuran sangat besar. Lalu karena heap sort memiliki (N log N) maka sistem yang memerlukan pengamanan yang ketat biasa memakai heap sort sebagai algoritma pengurutannya. Heap sort juga sering dibandingkan dengan merge sort, yang mempunyaikompleksitas algoritma yang sama, tetapi kompleksitas ruang nya (n) yang lebih besar dari heap sort. Heap sort juga lebih cepat pada mesin dengancache data yang kecil atau lambat.
Kesimpulan
Dengan memanfaatkan struktur data pohon, kita bisa mendapatkan algoritma pengurutan data yang mangkus yang bisa dimanfaatkan untuk membangun program aplikasi yang baik. Algoritma pengurutan heap sort bisa dimasukkan ke dalam algoritma divide and conquer yang disebabkan pembagian dilakukan dengan terlebih dahulu menerapkan algoritma metoda heapify sebagai inisialisasi untuk mentransformasi suatu tree menjadi heap tree, dan pada setiap tahapan diterapkan algoritma metoda reheapify untuk menyusun ulang heap tree.
Komentar
Posting Komentar